分数 1/(5y²) の逆数を求めよ。

Step-by-step solution

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   規則ではなく定義を思い出す。 量 $q$ の逆数（乗法逆元）とは、$q\cdot q^{-1}=1$ を満たす量 $q^{-1}$ のことである。分数の場合、これは分子と分母を入れ替えることを意味する：

   $\left(\frac{u}{v}\right)^{-1}=\frac{v}{u}$

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   与えられた分数に当てはめる。 ここでは $u=1$、$v=5y^2$ なので、

   $\left(\frac{1}{5y^2}\right)^{-1}=\frac{5y^2}{1}=5y^2$

   分母は 1 つのかたまりとしてそのまま上に上がる。係数 $5$ とべき $y^2$ は一緒に動く。

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   掛けて確かめる。

   $\frac{1}{5y^2}\cdot 5y^2=\frac{5y^2}{5y^2}=1\ \checkmark$

   意味のある検証はこれだけであり、両辺が定義される任意の $y$ について成り立つ。

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   条件を明示する。 もとの分数には $5y^2\neq 0$、すなわち $y\neq 0$ が必要である。逆数 $5y^2$ は $y=0$ でも無害に見えるが、それがもとの式の逆数であるのは、もとの式が持っていた定義域、すなわち $y\neq 0$ の上でだけである。$y=0$ では逆にすべきものがない。$0$ に逆数はないからである。

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   記法をていねいに読む。答えはそれ次第で変わる。 かっこなしで 1/5y^2 と打つと、よくある読み方が 2 通りある：

   $\frac{1}{5y^2}\ \longrightarrow\ \text{逆数は } 5y^2, \qquad \frac{1}{5}y^2\ \longrightarrow\ \text{逆数は } \frac{5}{y^2}$

   $y^2$ が分母にあるなら $5y^2$ になり、$5$ だけが分母なら $\frac{5}{y^2}$ になる。打ち込むときは分母をつねにかっこでくくること。