(x² の 7 乗根)/((1/2)y) × (x² の 3 乗根)/(y² の 3 乗根) × x/(y の 3 乗根) × ((9/7)√(y/3))/(5/x) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   すべての根号を分数の指数に直す。 $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$ を使うと $\sqrt[7]{x^2}=x^{2/7}$、$\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$、$\sqrt[3]{y^2}=y^{2/3}$、$\sqrt[3]{y}=y^{1/3}$、$\sqrt{\tfrac y3}=\tfrac{y^{1/2}}{\sqrt3}$ である。次数の違う根号どうしをまとめるには、指数の形にするしか現実的な方法がない。

2. 2

   分数の中の分数係数を払う。 $\tfrac12 y$ で割ることは $\tfrac{2}{y}$ を掛けることであり、$\tfrac5x$ で割ることは $\tfrac x5$ を掛けることである： $\frac{2x^{2/7}}{y}\times\frac{x^{2/3}}{y^{2/3}}\times\frac{x}{y^{1/3}}\times\frac{9x}{35}\cdot\frac{y^{1/2}}{\sqrt3}.$ 4 つ目の因数が $x$ を 1 つ余分に持ち込むことに注意。これは見落としやすい。

3. 3

   数の係数を集める。 $2\times\tfrac{9}{35} = \tfrac{18}{35}$ であり、$\tfrac{1}{\sqrt3}$ はいまはそのまま残す。定数は $\dfrac{18}{35\sqrt3}$ である。

4. 4

   x の指数を足す。 現れているべきは $x^{2/7}$、$x^{2/3}$、$x^1$（3 つ目の因数）、$x^1$（4 つ目から）である： $\frac27+\frac23+1+1 = \frac{6}{21}+\frac{14}{21}+\frac{42}{21} = \frac{62}{21}.$

5. 5

   y の指数を足す。 分子が与えるのは $y^{1/2}$、分母たちが与えるのは $y^{1}\cdot y^{2/3}\cdot y^{1/3} = y^{2}$ である。したがって $y^{1/2-2} = y^{-3/2} = \frac{1}{y^{3/2}}.$

6. 6

   定数を有理化して約分する。 $\dfrac{18}{35\sqrt3} = \dfrac{18\sqrt3}{105} = \dfrac{6\sqrt3}{35}$ なので $\text{式} = \frac{6\sqrt3\,x^{62/21}}{35\,y^{3/2}}.$

7. 7

   数値で確かめる。 $x=2$、$y=3$ ではもとの積の値は $0.44230024$ となり、$\dfrac{6\sqrt3\cdot 2^{62/21}}{35\cdot 3^{3/2}} = 0.44230024$ である。小数第 8 位まで同一である。