7 × 11 × x × x × y × x × y × x の 2 乗を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   因数を種類ごとに並べ替える。 掛け算は交換法則と結合法則を満たすので、散らばった $x$ と $y$ の因数を集められる： $(7\cdot11)\cdot\left(x\cdot x\cdot x\cdot x^2\right)\cdot\left(y\cdot y\right).$ 先にまとめておくことが、指数の数え間違いを防ぐ。

2. 2

   数の係数どうしを掛ける。 $7 \cdot 11 = 77.$

3. 3

   x の指数を足す。 裸の $x$ の因数が 3 つ（それぞれ $x^1$）と $x^2$ が 1 つあるので、積の法則 $a^m a^n = a^{m+n}$ より $x^1\cdot x^1\cdot x^1\cdot x^2 = x^{1+1+1+2} = x^5.$ 難しいのは裸の $x$ を丁寧に数えることだけである。もとの並びでは 3 番目、4 番目、6 番目に現れている。

4. 4

   y の指数を足す。 裸の $y$ の因数が 2 つあるので $y^{1+1} = y^2$ である。

5. 5

   1 つの単項式として書く。 $7 \cdot 11 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot x \cdot y \cdot x^2 = 77x^5y^2.$ 標準的な書き方では、係数を先に、続いて文字をアルファベット順に並べる。

6. 6

   数値を代入して検算する。 $x=2$、$y=3$ のとき、もとの式は $7\cdot11\cdot2\cdot2\cdot3\cdot2\cdot3\cdot4 = 77\cdot288 = 22176$ であり、$77\cdot2^5\cdot3^2 = 77\cdot32\cdot9 = 22176$ である。一致するので、指数の数え方は正しい。