(a − b)/(a + b + 2√(ab)) に (√a + √b)/(√a − √b) を掛けた式を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   頭の中で $\sqrt a$ と $\sqrt b$ に変数を置き換える。 この式はどの部分も $u=\sqrt a$ と $v=\sqrt b$ から作られている。

   $\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2+2uv}\cdot\frac{u+v}{u-v}$

   と書き直せば、見慣れない根号の式 2 つが、代数で最も標準的な恒等式 2 つに変わる。

2. 2

   分子を平方の差として因数分解する。

   $a-b=(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)$

3. 3

   分母が完全平方であることを見抜く。 $u^2+2uv+v^2$ の形から

   $a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt a+\sqrt b)^2$

   が得られる。交差項 $2\sqrt{ab}=2\sqrt a\sqrt b$ は、まさに平方を完成させる $2uv$ である。これに気づくことがこの問題の核心である。

4. 4

   2 つの因数分解を代入する。

   $\frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}{(\sqrt a+\sqrt b)^2}\cdot\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b}$

5. 5

   順序よく約分する。 因数 $\sqrt a-\sqrt b$ は上に 1 回、下に 1 回現れる。$\sqrt a+\sqrt b$ は上に 2 回、下に 2 回現れる。すべて約分されて残るのは

   $1$

   である。この約分が正当なのは、まさに $a\neq b$（だから $\sqrt a-\sqrt b\neq0$）かつ $a,b>0$（だから $\sqrt a+\sqrt b>0$）だからである。

6. 6

   数値で確かめる。 $a=4,b=9$ では $\tfrac{-5}{4+9+12}\cdot\tfrac{2+3}{2-3}=\tfrac{-5}{25}\cdot(-5)=1$ ✓。$a=2.5,b=7.3$ でも小数で直接計算すると $1.000000$ が返る ✓。