8(2t(1 − t²) − 2t(−t² − 1)) / (1 − t²)² − 10(1 − t²) / (t² + 1)² を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   何よりも先に内側の括弧を整理する。 1 つ目の分数の分子には大きな打ち消し合いが隠れている。先に展開しておくと問題は劇的に小さくなる：

   $2t\left(1-t^2\right)=2t-2t^3,\qquad 2t\left(-t^2-1\right)=-2t^3-2t$

2. 2

   マイナスを両方の項に分配しながら引く。

   $\left(2t-2t^3\right)-\left(-2t^3-2t\right)=2t-2t^3+2t^3+2t=4t$

   3 次の項は完全に消え、括弧の中はただの $4t$ になる。

3. 3

   1 つ目の分数を組み立て直す。 外側の $8$ を掛けると

   $\frac{8\cdot 4t}{\left(1-t^2\right)^2}=\frac{32t}{\left(1-t^2\right)^2}$

   となるので、式はいま次の形である。

   $\frac{32t}{\left(1-t^2\right)^2}-\frac{10\left(1-t^2\right)}{\left(1+t^2\right)^2}$

4. 4

   2 つの分母が共通因数をもつかを調べる。 $\left(1-t^2\right)^2=(1-t)^2(1+t)^2$ である一方、$\left(1+t^2\right)^2$ は実数の範囲で既約である。共通因数はないので、最小公倍の分母は単純に 2 つの積である：

   $\left(1-t^2\right)^2\left(1+t^2\right)^2$

5. 5

   共通分母の上に書く。

   $\frac{32t\left(1+t^2\right)^2-10\left(1-t^2\right)^3}{\left(1-t^2\right)^2\left(1+t^2\right)^2}$

   分子は分母と共通の因数をもたないので、簡約はここまでである。実用上は 2 つの分数のままの形のほうが使いやすいことが多い。

6. 6

   数値で検算する。 $t=2.1$ では、もとの式も、2 つの分数の形も、1 つにまとめた形も、すべて $6.9441950704$ に等しい。$t=-1.4$ では 3 つとも $-47.5154208262$ になる。$\checkmark$（どちらの形も $t=\pm 1$ では定義されない。）