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Algebra · real student question

(x+1)³ − 2(x+1)²(x−1) − (x+1)(x−1)² + 2(x+1)³(x² − 9)/(x + 3) を簡単にせよ。

Question

次を簡単にせよ。

(x+1)3−2(x+1)2(x−1)−(x+1)(x−1)2+2(x+1)3(x2−9)x+3(x+1)^3-2(x+1)^2(x-1)-(x+1)(x-1)^2+\frac{2(x+1)^3\left(x^2-9\right)}{x+3}

Step-by-step solution

  1. まず分数を片づける。 x2−9x^2-9 は平方の差である：

    x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3)

    したがって最後の項は 2(x+1)3(x−3)(x+3)x+3=2(x+1)3(x−3)\dfrac{2(x+1)^3(x-3)(x+3)}{x+3}=2(x+1)^3(x-3) になり、これは x≠−3x\neq -3 で成り立つ。分母がなくなれば、式全体は多項式になる。

  2. 共通因数 (x+1)(x+1) をくくり出す。 4 つの項はどれも x+1x+1 を少なくとも 1 つ因数にもつ：

    (x+1)[(x+1)2−2(x+1)(x−1)−(x−1)2+2(x+1)2(x−3)](x+1)\Bigl[(x+1)^2-2(x+1)(x-1)-(x-1)^2+2(x+1)^2(x-3)\Bigr]

    ここでくくり出しておくと、展開する式の次数が 1 つ下がる。

  3. 括弧の中の最初の 3 項を展開する。 (x+1)2=x2+2x+1(x+1)^2=x^2+2x+1、(x+1)(x−1)=x2−1(x+1)(x-1)=x^2-1、(x−1)2=x2−2x+1(x-1)^2=x^2-2x+1 を使う：

    (x2+2x+1)−2(x2−1)−(x2−2x+1)=−2x2+4x+2\left(x^2+2x+1\right)-2\left(x^2-1\right)-\left(x^2-2x+1\right)=-2x^2+4x+2

    （x2x^2 の項は 1−2−1=−21-2-1=-2、xx の項は 2+2=42+2=4、定数項は 1+2−1=21+2-1=2 となる。）

  4. 4 つ目の項を展開する。

    2(x+1)2(x−3)=2(x2+2x+1)(x−3)=2(x3−x2−5x−3)=2x3−2x2−10x−62(x+1)^2(x-3)=2\left(x^2+2x+1\right)(x-3)=2\left(x^3-x^2-5x-3\right)=2x^3-2x^2-10x-6

  5. 括弧の中の 2 つの部分を足し合わせる。

    (−2x2+4x+2)+(2x3−2x2−10x−6)=2x3−4x2−6x−4=2(x3−2x2−3x−2)\left(-2x^2+4x+2\right)+\left(2x^3-2x^2-10x-6\right)=2x^3-4x^2-6x-4=2\left(x^3-2x^2-3x-2\right)

  6. 最終的な因数分解の形を書き、確かめる。

    2(x+1)(x3−2x2−3x−2)2(x+1)\left(x^3-2x^2-3x-2\right)

    この 3 次式は有理数解をもたない（±1,±2\pm1,\pm2 はどれも解にならない）ので、Q\mathbb{Q} 上でこれ以上因数分解できない。x=2.3x=2.3 での数値確認では、もとの式もこの形もともに −48.2658-48.2658 になる。✓\checkmark

Answer

2(x+1)(x3−2x2−3x−2)(x≠−3)2(x+1)\left(x^{3}-2x^{2}-3x-2\right)\qquad (x\neq -3)

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