(6x − 6) / (12x² + x(x² − 2x + 1)) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分子を因数分解する。 2 つの項はどちらも $6$ を因数にもつ：

   $6x-6=6(x-1)$

   $(x-1)$ が目に見えていると約分できそうに思えるが、実際に約分できるかどうかは残りの計算が決める。

2. 2

   分母から共通の x をくくり出す。 完全平方 $x^2-2x+1=(x-1)^2$ なので

   $12x^{2}+x(x-1)^{2}=x\left[12x+(x-1)^{2}\right]$

   となる。最大公約因数は $x^2$ ではなく $x$ であることに注意。2 つ目の項は $x$ を 1 つしかもたないからである。

3. 3

   括弧の中を展開してまとめる。 答えを決めるのはこの段階である：

   $12x+(x-1)^{2}=12x+x^{2}-2x+1=x^{2}+10x+1$

   $(x-1)^2$ は $12x$ に足された時点で、因数としては生き残らない。

4. 4

   組み立てて共通因数があるか調べる。

   $\frac{6(x-1)}{x\left(x^{2}+10x+1\right)}$

   $(x-1)$ は $x^2+10x+1$ を割り切るだろうか。$x=1$ を代入すると $1+10+1=12\neq 0$ なので、因数定理により割り切らない。約分できるものは何もない。

5. 5

   簡単にした形を述べる。

   $\boxed{\dfrac{6(x-1)}{x\left(x^{2}+10x+1\right)}}$

   これは $x\neq 0$ かつ $x\neq -5\pm 2\sqrt6$（$x^2+10x+1$ の解）のもとで成り立つ。

6. 6

   数値で抜き取り検査をする。 $x=3$ ではもとの式が $\dfrac{12}{108+3(4)}=\dfrac{12}{120}=0.1$ となり、簡単にした形も $\dfrac{6(2)}{3(9+30+1)}=\dfrac{12}{120}=0.1$ を与える。一致するので、因数分解で誤りは入っていない。