(x + 5)/(2x − 2) + 3x/(x² + x − 2) を足して簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   共通分母を選ぶ前に、両方の分母を因数分解する。 2 つの分母をそのまま掛け合わせても求まるが、無駄に大きな式ができてあとで約分する羽目になる。因数分解すると共有している部分が見える：

   $2x-2=2(x-1),\qquad x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)$

2. 2

   最小公分母を組み立てる。 2 つの分母に現れる相異なる因数を、それぞれ最大の次数でとる。定数の $2$、両方が共有する因数 $(x-1)$、そして因数 $(x+2)$ である：

   $\text{最小公分母}=2(x-1)(x+2)$

3. 3

   各分数を最小公分母の形に書き直す。 1 つ目には $(x+2)$ を、2 つ目には $2$ を余分に掛ける必要がある：

   $\frac{(x+5)(x+2)}{2(x-1)(x+2)}+\frac{2\cdot 3x}{2(x-1)(x+2)}$

4. 4

   分子どうしを足して整理する。

   $(x+5)(x+2)=x^{2}+7x+10$

   $x^{2}+7x+10+6x=x^{2}+13x+10$

   したがって和は

   $\frac{x^{2}+13x+10}{2(x-1)(x+2)}$

   である。

5. 5

   結果が約分できるかを調べる。 約分が起こるには $x-1$ か $x+2$ が $x^2+13x+10$ を割り切る必要がある。$x=1$ では分子が $24\neq 0$、$x=-2$ では $4-26+10=-12\neq 0$ である。どちらも因数ではないので、この式はすでに既約である。

   $\boxed{\dfrac{x^{2}+13x+10}{2(x-1)(x+2)}}\qquad (x\neq 1,\ x\neq -2)$

6. 6

   値を 1 つとって検証する。 $x=3$ では、もとの式が $\tfrac{8}{4}+\tfrac{9}{10}=2+0.9=2.9$、答えの式が $\tfrac{9+39+10}{2(2)(5)}=\tfrac{58}{20}=2.9$ となり一致する。