掛けて簡単にせよ：(x² − 2x + 1)/(x² + 2x − 3) × (x² + 3x)/(x² + 2x)。

Step-by-step solution

1. 1

   掛ける前にすべて因数分解する。 先に分子と分母を展開すると 4 次式が 2 つできてしまい、それをまた因数分解し直す羽目になる。最初に因数分解しておけば、部品が小さいうちに約分が済む。

2. 2

   4 つの 2 次式を因数分解する。

   $x^{2}-2x+1=(x-1)^{2},\qquad x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)$

   $x^{2}+3x=x(x+3),\qquad x^{2}+2x=x(x+2)$

3. 3

   積を因数分解した形で書き直す。

   $\frac{(x-1)^{2}}{(x+3)(x-1)}\cdot\frac{x(x+3)}{x(x+2)}$

4. 4

   2 つの分数をまたいで約分する。 積の中では、どの分子の因数もどの分母の因数とも約分できる。$(x-1)$ が 1 つ、$(x+3)$、そして $x$ が約分される：

   $\frac{x-1}{1}\cdot\frac{1}{x+2}=\frac{x-1}{x+2}$

   $\boxed{\dfrac{x-1}{x+2}}$

5. 5

   除外される値を書き留める。 約分が正当なのは、約分した因数が零でない範囲だけなので、この等式が成り立つのは $x\neq 0$、$x\neq 1$、$x\neq -3$、$x\neq -2$ のときである。最終形が見せている制限は $x\neq -2$ だけであり、残る 3 つはもとの式から引き継いで持ち歩かねばならない。

6. 6

   値を代入して確認する。 $x=4$ のとき：第 1 の分数は $\tfrac{9}{21}=\tfrac37$、第 2 の分数は $\tfrac{28}{24}=\tfrac76$ で、その積は $\tfrac{3}{6}=\tfrac12$ である。簡約した形からは $\tfrac{4-1}{4+2}=\tfrac36=\tfrac12$ が得られ、一致する。