(3⁵ × 27³ × 9⁴) / (3 × 81⁴) を簡単にし、3 のべき乗と整数の両方で答えよ。

Step-by-step solution

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   すべてを 1 つの底にそろえる。 指数法則がまとめられるのは底を共有するべき乗だけであり、$27$、$9$、$81$ はいずれも $3$ のべき乗である：

   $27=3^{3},\qquad 9=3^{2},\qquad 81=3^{4}.$

2. 2

   「べき乗のべき乗」の法則で各因数を書き直す。 指数どうしを掛ける：

   $27^{3}=\left(3^{3}\right)^{3}=3^{9},\qquad 9^{4}=\left(3^{2}\right)^{4}=3^{8},\qquad 81^{4}=\left(3^{4}\right)^{4}=3^{16}.$

3. 3

   分子と分母を別々にまとめる。 同じ底どうしの掛け算では指数が足される：

   $\text{分子}=3^{5}\cdot 3^{9}\cdot 3^{8}=3^{5+9+8}=3^{22},$

   $\text{分母}=3^{1}\cdot 3^{16}=3^{1+16}=3^{17}.$

   単独の $3$ は $3^1$ と数える。この指数を忘れるのが、ここでのよくある落とし穴である。

4. 4

   指数の引き算で割る。

   $\frac{3^{22}}{3^{17}}=3^{22-17}=3^{5}.$

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   値を求めて検算する。 $3^{5}=243$ である。確認のため整数のまま計算すると $3^5\cdot27^3\cdot9^4=243\cdot19683\cdot6561=31\,381\,059\,609$、$3\cdot81^4=3\cdot43\,046\,721=129\,140\,163$ であり、割るとちょうど $243$ になる。