式 (2 − 3x)/(x(x − 1)) は正である。このとき x はどの集合に属するか。

Step-by-step solution

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   符号が変わる点を書き出す。 商の符号が変わるのは、どれかの因子が 0 になるところだけである。分子は $2-3x = 0$ より $x = \tfrac23$。分母は $x = 0$ と $x = 1$。よって 3 点あり、順序は $0 < \tfrac23 < 1$ である。

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   2 種類の点は振る舞いが違うことに注意する。 $x = \tfrac23$ では分数式は $0$ になり、これは正ではないので、狭義の不等式では $\tfrac23$ は除かれる。$x = 0$ と $x = 1$ では分数式が定義されないので、これらも除かれる。ここでは端点はすべて開いている。

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   4 つの区間をそれぞれ試す。

   区間	試す $x$	分子	分母	商
   $(-\infty,0)$	$-1$	$+5$	$(-1)(-2) = +2$	正
   $(0,\tfrac23)$	$0.5$	$+0.5$	$(0.5)(-0.5) = -0.25$	負
   $(\tfrac23,1)$	$0.8$	$-0.4$	$(0.8)(-0.2) = -0.16$	正
   $(1,\infty)$	$2$	$-4$	$(2)(1) = +2$	負

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   正になる区間を読み取る。 商が正になるのは 1 つ目と 3 つ目である：

   $x \in (-\infty,\,0) \cup \left(\tfrac23,\,1\right)$

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   符号がこのように交互になる理由を理解する。 $x = 0$ や $x = 1$ をまたぐと分母の 1 次因子が 1 つ符号を変え、$x = \tfrac23$ をまたぐと分子が符号を変える。だから 3 つの点のどれをまたいでも符号が入れ替わり、それが表に現れているとおりの並びになる。

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   数式処理で確認する。 $\dfrac{2-3x}{x(x-1)} > 0$ を解かせると $(-\infty,0) \cup \left(\tfrac23,1\right)$ が返り ✓、手で作った符号表と一致する。ひっかかりやすい誤答 $(-\infty,0) \cup (\tfrac23,\infty)$ は、$x = 1$ を越えると分数式が再び負になることを見落としている。