不等式 (x − 1) / ((x − 3)(x − 2)) ≤ 0 を解き、解を区間で答えよ。

Step-by-step solution

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   通分ではなく臨界点を求める。 式はすでに因数分解された 1 つの分数なので、符号が変わりうるのは因数が 0 になる場所だけである。すなわち分子の零点 $x = 1$ と、分母の零点 $x = 2$、$x = 3$ である。両辺に $(x-3)(x-2)$ を掛けてはいけない。その符号は分からないので、不等号の向きが当てにならなくなる。

2. 2

   数直線を 4 つの区間に分ける。 3 つの臨界点が $\mathbb{R}$ を $(-\infty,1)$、$(1,2)$、$(2,3)$、$(3,\infty)$ に切り分ける。それぞれの内部では 3 つの因数がどれも一定の符号を保つので、商全体の符号も一定である。区間ごとに試験値 1 つで足りる。

3. 3

   各区間で 1 点ずつ試す。

   区間	試験値 $x$	値	符号
   $(-\infty,1)$	$0$	$\tfrac{-1}{(-3)(-2)} = -\tfrac16$	負
   $(1,2)$	$1.5$	$\tfrac{0.5}{(-1.5)(-0.5)} = +\tfrac23$	正
   $(2,3)$	$2.5$	$\tfrac{1.5}{(-0.5)(0.5)} = -6$	負
   $(3,\infty)$	$3.5$	$\tfrac{2.5}{(0.5)(1.5)} = +\tfrac{10}{3}$	正

4. 4

   端点は 1 つずつ決める。 不等号は $\le$ なので分子の零点は許される。$x = 1$ では値が $0$ となり $\le 0$ を満たすので、$x=1$ は含まれる。分母の零点は決して許されない。$x = 2$ と $x = 3$ では式が定義されないので、不等号がどちら向きであろうと両方とも除かれる。

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   解を組み立てる。 負になる区間を集め、閉じた端点を付け加える。

   $(-\infty,\,1] \;\cup\; (2,\,3)$

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   よくある誤答と突き合わせる。 数式処理系はちょうど $(-\infty,1] \cup (2,3)$ を返す ✓。$[1,2) \cup [3,\infty)$ という選択肢は正になる区間をとったうえに極を誤って閉じている。$[1,2] \cup (3,\infty)$ は $x=2$ を閉じているが、そこでは式がそもそも存在しない。