4x² + 4xy + y² − 4x − 2y − 3 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 次の部分に隠れている完全平方式を見抜く。 2 次の項は $4x^2 + 4xy + y^2$ であり、$a = 2x$、$b = y$ とすると $a^2 + 2ab + b^2$ の形に合う：

   $4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2$

   2 変数の式で最高次の部分が完全平方式になっているときは、残りも同じかたまりで揃うかどうかを調べる価値がある。

2. 2

   1 次の部分が同じかたまりの定数倍になっていることを確かめる。

   $-4x - 2y = -2(2x + y)$

   なっている——つまり式全体は、$x$ と $y$ には $2x + y$ という組み合わせを通してしか依存しない。

3. 3

   1 つの変数に置き換える。 $u = 2x + y$ とおくと、式はふつうの 2 次式になる：

   $u^2 - 2u - 3$

4. 4

   2 次式を因数分解する。 掛けて $-3$、足して $-2$ になる 2 数は $-3$ と $1$ である：

   $u^2 - 2u - 3 = (u - 3)(u + 1)$

5. 5

   もとに戻す。

   $(2x + y - 3)(2x + y + 1)$

6. 6

   展開して検算する。 $(2x+y-3)(2x+y+1) = (2x+y)^2 + (2x+y) - 3(2x+y) - 3 = (2x+y)^2 - 2(2x+y) - 3$ であり、これは $4x^2 + 4xy + y^2 - 4x - 2y - 3$ である。$(x,y) = (1, 2)$ で数値を確かめると、どちらの形からも $5$ が得られる。（直線 $2x+y=3$ 上の点は避けること。そこではどちらの形も 0 になるので、確認にならない。）