多項式 f(x) を 2x² − 3x + 4 で割ると余りは 2x + 1 である。f(x)³ を 2x² − 3x + 4 で割ったときの余りはどれか。26x − 47、27x − 48、28x − 49、29x − 50、30x − 51 から選べ。

Step-by-step solution

1. 1

   与えられた余りの意味を式に書く。 ある商 $q(x)$ が存在して

   $f(x)=q(x)\left(2x^{2}-3x+4\right)+(2x+1).$

   と書ける。以下では略記のため $D(x)=2x^{2}-3x+4$ とおく。

2. 2

   3 乗して D で割り切れる項をすべて捨てる。 $\left[q D+(2x+1)\right]^{3}$ を展開すると、最後の項以外はどれも $D$ を因数に少なくとも 1 つ含むので、割り算では消えてしまう：

   $\{f(x)\}^{3}\equiv (2x+1)^{3}\pmod{D(x)}.$

   これが決め手である。$q(x)$ も $f$ の次数も、知る必要はまったくない。

3. 3

   3 乗を展開する。

   $(2x+1)^{3}=8x^{3}+12x^{2}+6x+1.$

4. 4

   D(x) で割る — 第 1 段。 最高次の項どうしから $\dfrac{8x^{3}}{2x^{2}}=4x$ が得られる：

   $8x^{3}+12x^{2}+6x+1-4x\left(2x^{2}-3x+4\right)=24x^{2}-10x+1.$

5. 5

   D(x) で割る — 第 2 段。 今度は $\dfrac{24x^{2}}{2x^{2}}=12$ である：

   $24x^{2}-10x+1-12\left(2x^{2}-3x+4\right)=26x-47.$

   次数が $2$ より低くなったので、割り算はここで止まる。

6. 6

   答えを述べ、検算する。 余りは $26x-47$ であり、これは選択肢 ① である。検算すると $(4x+12)\left(2x^{2}-3x+4\right)+26x-47=8x^{3}+12x^{2}+6x+1=(2x+1)^{3}$ ✓。