3x² − 5 を x + 1 で割ったときの商と余りを求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   割る前に欠けている項を補う。 被除数には $x$ の項がないが、筆算はすべての列がそろっていることを前提にしている：

   $3x^{2}-5=3x^{2}+0x-5.$

   この詰め物を飛ばすことが、余りを間違える最大の原因である。

2. 2

   最高次の項どうしを割る。

   $\frac{3x^{2}}{x}=3x,$

   なので商の最初の項は $3x$ である。掛け戻して引くと：

   $\left(3x^{2}+0x\right)-3x(x+1)=\left(3x^{2}+0x\right)-\left(3x^{2}+3x\right)=-3x.$

3. 3

   次の項を下ろして繰り返す。 作業行はいま $-3x-5$ である。ふたたび最高次の項どうしを割ると：

   $\frac{-3x}{x}=-3,$

   なので商に $-3$ が加わる。掛け戻して引くと：

   $(-3x-5)-(-3)(x+1)=(-3x-5)-(-3x-3)=-2.$

4. 4

   次数が割る式より下がったところで止める。 残った $-2$ の次数は $0$ で、$x+1$ の次数 $1$ より低いので、割り算はここで完了である：

   $\text{商}=3x-3,\qquad \text{余り}=-2.$

5. 5

   掛け戻して検算する。

   $(x+1)(3x-3)+(-2)=3x^{2}-3x+3x-3-2=3x^{2}-5\ \checkmark$

6. 6

   剰余の定理と突き合わせる。 $x+1$ で割るということは $x=-1$ で評価することである：

   $f(-1)=3(-1)^{2}-5=3-5=-2,$

   これは筆算で得た余りと一致する。