1/√11 の分母を有理化せよ。可能なら分子と分母を最大公約数で割って簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   何を掛けるかを決める。 分母は単独の平方根なので、同じ根号を 1 つ掛ければ払える。下に和や差があるわけではないので、ここでは共役な式は要らない。

   $\sqrt{11}\cdot\sqrt{11}=11.$

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   1 に化けた形を掛ける。 分子と分母に同じ 0 でない量を掛けても値は決して変わらない。

   $\frac{1}{\sqrt{11}}=\frac{1}{\sqrt{11}}\cdot\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}.$

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   掛け算を実行する。 分子は $1\cdot\sqrt{11}=\sqrt{11}$ になり、分母は $11$ になる。

   $\frac{\sqrt{11}}{11}.$

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   約分できるかを確かめる。 設問は分子と分母の最大公約数で割れと求めている。ここで分子は無理数 $\sqrt{11}$、分母は $11$ である。$11$ は素数であり $\sqrt{11}$ は $11$ の倍数ではないので、最大公約数は $1$ で、何も約分できない。

   よくある取り違えは、根号の下の $11$ と下の $11$ を約分してしまうことである。この 2 つは同じ量ではない。

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   数値で裏づける。 $1/\sqrt{11}=0.301511\ldots$、$\sqrt{11}/11=3.316625/11=0.301511\ldots$ なので、有理化した形はもとの式に等しい。