x > 0 として、平方根の商の法則を使って √(48x¹²)/√(2x) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   どちらかを簡単にする前に、2 つの根号を 1 つにまとめる。 商の法則は

   $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A}{B}}\quad (A\ge 0,\ B>0),$

   であり、ここでは $\sqrt{48x^{12}}$ と $\sqrt{2x}$ を別々に簡単にするよりずっと手間が少ない。どちらの根号の中身も 0 以上で分母が 0 でないことを保証しているのが、$x>0$ という仮定である。

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   1 つになった根号の中で割る。 数の部分と累乗の部分を分けて扱う：

   $\frac{48}{2}=24,\qquad \frac{x^{12}}{x^{1}}=x^{11}\ \Longrightarrow\ \sqrt{\frac{48x^{12}}{2x}}=\sqrt{24x^{11}}.$

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   最大の平方因数を外に出す。 係数については $24=4\cdot 6$ で $4=2^2$ である。文字については $11$ より小さい偶数の指数のうち最大が $10$ なので、$x^{11}=x^{10}\cdot x$ と書け、$x^{10}=(x^5)^2$ となる：

   $\sqrt{24x^{11}}=\sqrt{4\cdot 6\cdot x^{10}\cdot x}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x^{10}}\cdot\sqrt{6x}.$

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   外に出る根号を取り出す。 $x>0$ なので絶対値の記号は必要ない：

   $2\cdot x^{5}\cdot\sqrt{6x}=2x^{5}\sqrt{6x}.$

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   これ以上簡単にできないことと、値が正しいことを確かめる。 残った根号の中では $6=2\cdot 3$ が平方因数をもたず、$x$ も 1 乗なので、もう外に出るものはない。$x=2$ での数値は $\sqrt{48\cdot 4096}/\sqrt{4}=\sqrt{196608}/2=221.7025$ であり、$2(32)\sqrt{12}=64(3.4641)=221.7025$ となる。2 つは一致する。