7/(√5 − 2) の分母を有理化し、簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   共役な式を見つける。 分母は根号と整数の差であり、共役な式は真ん中の符号だけを入れ替えたものである。

   $\text{共役：}\sqrt5-2\ \text{に対して}\ \sqrt5+2.$

2. 2

   分子と分母に共役な式を掛ける。

   $\frac{7}{\sqrt5-2}\cdot\frac{\sqrt5+2}{\sqrt5+2}=\frac{7\left(\sqrt5+2\right)}{\left(\sqrt5-2\right)\left(\sqrt5+2\right)}.$

3. 3

   2 乗の差で分母を計算する。

   $\left(\sqrt5\right)^{2}-2^{2}=5-4=1.$

   これがこの問題の嬉しい驚きである。分母が $1$ につぶれるので、分数そのものが消えてしまう。

4. 4

   分母のない形で結果を書く。

   $\frac{7\left(\sqrt5+2\right)}{1}=7\sqrt5+14.$

   答えを $\dfrac{7\sqrt5+14}{1}$ のままにしても間違いではないが、簡単にしたとは言えない。$1$ は落とす。

5. 5

   数値で確かめる。 $\sqrt5=2.2360680$ とすると、もとの式は $7/0.2360680=29.6524758$ であり、$7(2.2360680)+14=15.6524758+14=29.6524758$ となる。示したすべての桁で一致する。