17 ÷ (2 + √11) の分母を有理化せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   適当な数ではなく、共役な式を選ぶ。 分母の $2+\sqrt{11}$ は無理数の項を 1 つもつ二項式である。共役な $2-\sqrt{11}$ を掛けることだけが一手で根号を消す選び方である。$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ が $\sqrt{11}$ を 2 乗して消してくれるからである。分子と分母に同じ量を掛けても値は変わらない。

   $\frac{17}{2+\sqrt{11}}\cdot\frac{2-\sqrt{11}}{2-\sqrt{11}}$

2. 2

   2 乗の差で分母を払う。

   $(2+\sqrt{11})(2-\sqrt{11})=2^2-(\sqrt{11})^2=4-11=-7$

   符号に注意したい。$11>4$ なので結果は負になる。この負の分母こそ、いちばん扱いを誤りやすいところである。

3. 3

   分子を展開する。 $17$ を分配すると

   $17(2-\sqrt{11})=34-17\sqrt{11}$

   なので、分数はいま

   $\frac{34-17\sqrt{11}}{-7}$

   である。

4. 4

   マイナス符号を分子へ移す。 分母が負のままでは簡単にしたとは見なされない。分子と分母に $-1$ を掛ける。

   $\frac{34-17\sqrt{11}}{-7}=\frac{17\sqrt{11}-34}{7}$

   これ以上は約分できない。$17$ と $7$ は互いに素なので、この分数は既約である。

5. 5

   数値で値を確かめる。 $\sqrt{11}=3.3166247903554$ とすると、もとの式は $17/5.3166247903554=3.1975173480059\,7$ であり、簡単にした形は $(17\cdot 3.3166247903554-34)/7=22.3826214/7=3.1975173480059\,7$ である。小数第 13 位まで一致するので、有理化は正しい。