不等式 (x² − 4x + 3)/(x² − 9) ≤ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   分子と分母を因数分解する。

   $x^2-4x+3=(x-1)(x-3),\qquad x^2-9=(x-3)(x+3)$

   したがって不等式は

   $\frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}\le0$

   である。

2. 2

   約分する前に定義域を記録する。 分母は $x=3$ と $x=-3$ で 0 になるので、どちらも初めから除外される。

   $x\neq3,\qquad x\neq-3$

   これを先に書いておかねばならない。次の手順で $x=3$ が見えなくなるからである。

3. 3

   除外を保ったまま共通因数を約分する。 $x\neq3$ のとき共通の $(x-3)$ は約分できる。

   $\frac{x-1}{x+3}\le0\qquad(x\neq3,\ x\neq-3)$

   この約分は $x=3$ に除去可能な穴を作るのであって、符号の変化を作るのではない。もとの関数はそこで値をもたないが、簡約したほうはもつ。これを忘れるのが定番の落とし穴である。

4. 4

   簡約した分数の臨界点を求め、区間を試す。 それは $x=1$（分子の零点）と $x=-3$（分母の零点）である。$x=-4$ では $\tfrac{-5}{-1}=5>0$。$x=0$ では $\tfrac{-1}{3}<0$。$x=2$ では $\tfrac{1}{5}>0$。よって負になるのは $(-3,1)$ だけである。

5. 5

   端点を決める。 $x=1$ では分数が $0$ になり、$\le0$ は 0 を含むので $x=1$ は入る。$x=-3$ では式が定義されないので出る。そして $x=3$ は、どのみち $(-3,1]$ の外にあるとはいえ、定義域によって除かれたままである。論証を完結させるために述べておく価値がある。

6. 6

   答えを述べて検算する。

   $x\in(-3,1]$

   もとの簡約前の分数を $[-10,10]$ 上の $4001$ 個の有理点で厳密な分数のまま（$x=\pm3$ は飛ばして）計算すると、不等式が成り立つのはちょうど $(-3,1]$ の点である ✓。