不等式 (3 − x)/(2x + 1) ≥ 1 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   両辺に 2x + 1 を掛けてはいけない。 その符号は $x=-\tfrac12$ で入れ替わるので、掛けるとその点の片側で不等号が予告なく裏返る。正しい第一手は、1 つの分数を 0 と比べる形にすることである。

2. 2

   1 を引いて共通分母でまとめる。

   $\frac{3-x}{2x+1}-\frac{2x+1}{2x+1}\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{3-x-(2x+1)}{2x+1}\ge0$

   引き算は $(2x+1)$ の両方の項に効く。

   $3-x-2x-1=2-3x$

   よって不等式は $\dfrac{2-3x}{2x+1}\ge0$ になる。

3. 3

   臨界点を求める。

   $2-3x=0\Rightarrow x=\frac23\quad(\text{分子の零点}),\qquad 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac12\quad(\text{除外})$

   これで数直線が $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$、$\left(-\tfrac12,\tfrac23\right)$、$\left(\tfrac23,\infty\right)$ に分かれる。

4. 4

   区間ごとに 1 点試す。 $x=-1$ では $\dfrac{2+3}{-1}=-5<0$。$x=0$ では $\dfrac{2}{1}=2>0$。$x=1$ では $\dfrac{-1}{3}<0$。よって条件を満たすのは真ん中の区間だけで、分数が正になるのはちょうど 2 つの臨界点の間である。

5. 5

   ふるまいが違うので、端点は 1 つずつ決める。 $x=\tfrac23$ では分子が $0$ なので分数も $0$ になり、$\ge0$ が成り立つ。よって含める。$x=-\tfrac12$ では分母が $0$ なので式が定義されない。よって除く。この非対称性から半開区間が生まれる。

6. 6

   解を述べて検算する。

   $-\frac12<x\le\frac23,\qquad\left(-\frac12,\ \frac23\right]$

   $[-3,3]$ 上の $18001$ 個の有理な試験点で（$x=-\tfrac12$ は飛ばして）厳密な分数のまま調べると、もとの不等式が成り立つのはちょうどこの区間の点だけで、それ以外にはない ✓。