(x + 25)/(x + 125) − x/(x + 100) = 1/10 を解け。x についての制限も述べよ。

Step-by-step solution

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   制限を書き出す。 どちらの分母も 0 になってはいけないので

   $x\ne-125,\qquad x\ne-100.$

   である。候補の解は最後にこの 2 つと照らし合わせねばならない。

2. 2

   共通分母でまとめ、つぶれ方に注目する。 $(x+125)(x+100)$ を使うと

   $(x+25)(x+100)=x^{2}+125x+2500,\qquad x(x+125)=x^{2}+125x,$

   なので、分子は

   $\left(x^{2}+125x+2500\right)-\left(x^{2}+125x\right)=2500.$

   となる。$x$ を含むものがすべて打ち消し合い、定数を二次式で割った形が残る。

   $\frac{2500}{(x+125)(x+100)}=\frac{1}{10}.$

   符号に注意したい。この順に引くと $+2500$ が残るが、2 つの分数を入れ替えると $-2500$ が残る。そしてその符号こそが、実数解が存在するかどうかを決めている。

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   たすきに掛けて二次方程式にする。 $25000=(x+125)(x+100)=x^{2}+225x+12500$ から

   $x^{2}+225x-12500=0.$

   定数項がいまや負なので、解と係数の関係により 2 つの解は符号が逆になる。すなわち一方が正、他方が負である。

4. 4

   解いて根号を簡約する。 判別式は

   $\Delta=225^{2}+4(12500)=50625+50000=100625>0,$

   なので実数解が 2 つある。平方をくくり出すと $100625=625\times161$ であり、$161=7\times23$ は平方因数をもたないので $\sqrt{100625}=25\sqrt{161}$ である。したがって

   $x=\frac{-225\pm25\sqrt{161}}{2}.$

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   近似して検算する。 $\sqrt{161}\approx12.6886$ とすると

   $x\approx46.107\qquad\text{または}\qquad x\approx-271.107.$

   である。どちらも $-100$ でも $-125$ でもないので、両方とも有効である。$x=46.107$ を代入すると $\frac{71.107}{171.107}-\frac{46.107}{146.107}=0.41557-0.31557=0.10000$ ✓ となり、負のほうの解も同じ精度で確かめられる ✓。左右を入れ替えた方程式 $\frac{x}{x+100}-\frac{x+25}{x+125}=\frac1{10}$ と比べてほしい。そちらは判別式が $-99375$ で、実数解がまったく存在しない。