連なった不等式 −2 < (2x − 3)/(x + 1) ≤ 1 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   $x+1$ を掛けて分母を払ってはいけない。 その符号が分からないので、掛けると場合分けが要るうえ、不等号が裏返る危険がある。そうではなく、連なった不等式を 2 つの不等式に分け、定義域の制限 $x\ne-1$ を先に書き留めておく。

2. 2

   左半分は、すべてを片側に移して解く。

   $\frac{2x-3}{x+1}+2>0\;\Longrightarrow\;\frac{2x-3+2(x+1)}{x+1}>0\;\Longrightarrow\;\frac{4x-1}{x+1}>0$

   臨界点は $x=\tfrac14$ と $x=-1$ である。$x=-2$ では $\tfrac{-9}{-1}>0$、$x=0$ では $-1<0$、$x=1$ では $\tfrac32>0$ となるので、左半分が成り立つのは $(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac14,\infty\right)$ である。

3. 3

   右半分も同じやり方で解く。

   $\frac{2x-3}{x+1}-1\le0\;\Longrightarrow\;\frac{2x-3-(x+1)}{x+1}\le0\;\Longrightarrow\;\frac{x-4}{x+1}\le0$

   臨界点は $x=4$（等号が許されるので含めてよい）と $x=-1$（決して許されない）である。$x=-2$ では $6>0$、$x=0$ では $-4<0$、$x=5$ では $\tfrac16>0$ となるので、この半分が成り立つのは $(-1,4]$ である。

4. 4

   2 つの解集合の共通部分をとる。 数は両方の半分を満たさなければならない。

   $\left[(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac14,\infty\right)\right]\cap(-1,4]=\left(\tfrac14,\,4\right]$

   枝 $(-\infty,-1)$ が消えるのは、右半分が $-1$ より下をすべて除いてしまうからである。

5. 5

   境目を数値で試す。 $x=0.26$ では商が $-1.968$ で $-2<\cdot\le1$ を満たすが、$x=0.2$ では $-2.167$ となって左側で外れる。$x=4$ では商がちょうど $1$（含まれる）、$x=4.1$ では $1.0196$ となって右側で外れる。端点は主張どおりにふるまう。

6. 6

   最後に区間で書く。

   $x\in\left(\frac14,\,4\right]$