連立不等式 16 < 3y − 8 ≤ 40 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   「かつ」で結ばれた 2 つの条件として読む。 連鎖 $16<3y-8\le40$ は、$16<3y-8$ かつ $3y-8\le40$ が同時に成り立つことを表す。2 つに分けなくても、3 つの部分すべてに同時に同じ操作を施してよい——連鎖不等式が許しているのはまさにそれである。

2. 2

   まず引き算を打ち消すため、すべての部分に 8 を足す。 3 つの部分に同じ数を足すのは連鎖全体をずらすだけで、どの不等号の向きも変えられない：

   $16+8<3y-8+8\le 40+8$

   $24<3y\le 48$

3. 3

   $y$ を単独にするため、すべての部分を 3 で割る。 割る数 $3$ は正なので、両方の不等号の向きは保たれる——係数が負であれば、ここで向きを逆にしなければならなかった：

   $\frac{24}{3}<\frac{3y}{3}\le\frac{48}{3}$

   $8<y\le 16$

4. 4

   どちらの端点が含まれるかを押さえておく。 左の関係は狭義（$<$）のまま、右は広義（$\le$）のままなので、$y=16$ は解だが $y=8$ は解ではない。

5. 5

   内部の値 1 つと両端点で検算する。 $y=10$ のとき：$3(10)-8=22$ で $16<22\le40$ は成り立つ。$y=16$ のとき：$3(16)-8=40$ で $40\le40$ は成り立つ。$y=8$ のとき：$3(8)-8=16$ となり $16<16$ は偽——開いた端点が予告したとおりである。

6. 6

   解集合を区間表記で書く。

   $y\in(8,\,16]$