括弧の中の各因数を −4 乗し、正の指数だけになるように簡単にせよ：(−4m⁻²n¹¹)⁻⁴。

Step-by-step solution

1. 1

   外側の指数を、数の因数も含めてすべての因数に配る。 規則 $(abc)^{k}=a^{k}b^{k}c^{k}$ は文字だけでなく係数 $-4$ にも同じように働く。係数を手つかずのまま残すのが、ここでの定番の誤りである。

   $\left(-4\,m^{-2}n^{11}\right)^{-4}=(-4)^{-4}\left(m^{-2}\right)^{-4}\left(n^{11}\right)^{-4}$

2. 2

   数の因数を計算し、符号に注意する。 負の指数は逆数を意味し、底の $-4$ は偶数乗されるので結果は正になる。

   $(-4)^{-4}=\frac{1}{(-4)^{4}}=\frac{1}{256}$

   指数が奇数であれば、符号はそのまま残っていたはずである。

3. 3

   文字の指数を掛け合わせる。 $\left(a^{p}\right)^{q}=a^{pq}$ を使い、負と負の積は正になることを思い出すと

   $\left(m^{-2}\right)^{-4}=m^{(-2)(-4)}=m^{8},\qquad \left(n^{11}\right)^{-4}=n^{11(-4)}=n^{-44}$

   となる。よって式はいま $\dfrac{1}{256}\,m^{8}n^{-44}$ である。

4. 4

   残った負の指数を分母へ移す。 $n^{-44}=\dfrac{1}{n^{44}}$ なので

   $\frac{1}{256}m^{8}n^{-44}=\frac{m^{8}}{256\,n^{44}}$

   となる。これですべての指数が正になり、求められていた形である。

5. 5

   数値で検算する。 $m=1.7$、$n=0.9$ とすると、もとの式の値は $28.098361160882813$ になり、$\dfrac{m^{8}}{256\,n^{44}}$ も同じ $28.098361160882813$ を与える。精度いっぱいまで一致するので、符号も 3 つの指数もすべて正しい。