√(x² − 6x + 25) = 3 − x を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   定義域の条件を記録する。 平方根は負にならないので、解はどれも $3-x \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \le 3.$ を満たさねばならない。この手順を飛ばすことが、この種の問題で無縁解を生き残らせる原因になる。

2. 2

   両辺を 2 乗する。 $x^2-6x+25 = (3-x)^2 = 9-6x+x^2.$

3. 3

   そろっている項を消す。 $x^2$ も $-6x$ も両辺に現れて打ち消し合い、残るのは $25 = 9.$ である。

4. 4

   矛盾を解釈する。 どんな $x$ をとっても $25$ を $9$ に等しくすることはできないので、2 乗した方程式には、したがってもとの方程式にも解が存在しない。

5. 5

   幾何的に確かめる。 $\sqrt{x^2-6x+25} = \sqrt{(x-3)^2+16}$ は点 $(x,0)$ から $(3,4)$ までの距離であり、つねに $4$ 以上である。一方 $3-x$ がそれに等しくなければならないわけだが、$\sqrt{(x-3)^2+16}$ と $3-x$ を比べると、どんな $x$ でも $(x-3)^2+16 > (3-x)^2$ となる。左辺のほうがつねに真に大きい。

6. 6

   姉妹問題と比べる。 右辺を定数 $5$ に置き換えた $\sqrt{x^2-6x+25}=5$ には解 $x=0$ と $x=6$ がある。ここで矛盾を生んでいるのは、右辺が変数であることのほうである。