方程式 √(2x + 1) = x − 1 を解け。

Step-by-step solution

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   2 乗する前に定義域を固める。 左辺は主平方根なので $\ge 0$ であり、したがって右辺も $\ge 0$ でなければならず、$x \ge 1$ が出る。根号の中身には $2x + 1 \ge 0$、すなわち $x \ge -\tfrac12$ が要るが、こちらは弱い。効いてくる条件は

   $x \ge 1$

   である。2 乗は可逆ではないので、あとで本物の解と作り物を分けられるのはこの条件だけである。

2. 2

   両辺を 2 乗する。

   $2x + 1 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

3. 3

   まとめて因数分解する。

   $0 = x^2 - 4x = x(x-4) \quad\Longrightarrow\quad x = 0 \ \text{または}\ x = 4$

   定数 $1$ が両辺から消えたので、二次式がこれほどきれいに因数分解できる。

4. 4

   2 つの候補を定義域ともとの方程式の両方で試す。 $x = 0$ は $x \ge 1$ を満たさない。あえて代入すると左辺は $\sqrt{1} = 1$ だが右辺は $0 - 1 = -1$ なので、これは無縁解であり、2 乗した方程式だけを満たす。$x = 4$ については $\sqrt{2(4)+1} = \sqrt{9} = 3$、$4 - 1 = 3$ となり、成り立つ。

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   解を述べる。

   $x = 4$

   幾何的には、曲線 $y = \sqrt{2x+1}$ と直線 $y = x - 1$ はちょうど 1 回、点 $(4,3)$ で交わる。$x = 0$ は、直線が折り返した枝 $y = -\sqrt{2x+1}$ と出会う点であり、2 乗はそれを黙って取り込んでしまったのである。