方程式 √(4 + 2x − x²) = x − 2 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   2 乗する前に符号の条件を書き出す。 実数の平方根は負にならないので、$x$ がどんな値であっても右辺は次を満たさねばならない。

   $x-2\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge 2$

   いまこれを記録しておくことが、後で偽の解にだまされずに捨てられる理由になる。

2. 2

   両辺を 2 乗する。 2 乗は可逆ではないので、もとの方程式を満たさない解を生み出しうる。手順 1 があるのはまさにそのためである。

   $4+2x-x^{2}=(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4$

3. 3

   すべてを片側に集めて因数分解する。

   $4+2x-x^{2}-x^{2}+4x-4=0\quad\Longrightarrow\quad 6x-2x^{2}=0$

   $2x(3-x)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{または}\ x=3$

4. 4

   候補を条件 $x\ge2$ でふるいにかける。 値 $x=0$ はただちにこの条件を満たさない。あえて代入すればその理由も見える。左辺は $\sqrt{4}=2$、右辺は $0-2=-2$ なので $2=-2$ となって偽である。これは 2 乗が生んだ産物であって、解ではない。

5. 5

   生き残った候補をもとの方程式で検算する。 $x=3$ では根号の中身が $4+6-9=1$ なので左辺は $\sqrt{1}=1$、右辺は $3-2=1$ である。両辺とも $1$ に等しいので $x=3$ は本物である。

6. 6

   解を述べる。

   $x=3$