√(x² − 3) = x − 1 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   右辺に符号の条件を課す。 平方根の値は負にならないので、解はどれも $x-1 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \ge 1.$ を満たさねばならない。この条件が、あとで本物の解と無縁解を見分ける決め手になる。

2. 2

   両辺を 2 乗する。 $x^2-3 = (x-1)^2 = x^2-2x+1.$

3. 3

   二次の項を消す。 $x^2$ が両辺に現れて打ち消し合い、一次方程式が残る。$-3 = -2x+1.$ このように最高次の項がそろっている場合、2 乗した方程式は次数が 1 つ下がる。

4. 4

   x について解く。 $-4 = -2x \quad\Longrightarrow\quad x = 2.$

5. 5

   2 つの要求の両方に照らして確かめる。 $x=2$ は $x\ge1$ を満たし、根号の中身も $2^2-3 = 1 \ge 0$ である。代入すると $\sqrt{4-3} = \sqrt1 = 1$、$2-1 = 1$ となって両辺が一致するので、$x=2$ は本物の解である。

6. 6

   なぜ検算が要るのかを押さえる。 2 乗は $\sqrt{A} = B$ を $\sqrt{A} = -B$ の解に化けさせうる。ここでは候補が 1 つしか現れず、それも生き残ったが、姉妹問題の $\sqrt{x^2-6x+25} = 3-x$ では同じ手順が矛盾を導く。