√(4x² − 8x + 4) = 5 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   2 乗する前に根号の中身を因数分解する。 $4x^2-8x+4 = 4\left(x^2-2x+1\right) = 4(x-1)^2.$ 完全平方だと見抜けば、問題は 1 行の絶対値の方程式になる。

2. 2

   根号を a ではなく |a| として簡約する。 $\sqrt{4(x-1)^2} = 2\left|x-1\right|$ であり、絶対値は欠かせない。$\sqrt{t^2}=|t|$ であって $t$ ではないからである。したがって方程式は $2|x-1| = 5.$ となる。

3. 3

   絶対値を孤立させる。 $|x-1| = \frac52.$

4. 4

   2 つの場合に分ける。 $x-1 = \frac52 \quad\text{または}\quad x-1 = -\frac52,$ から $x = \frac72 \quad\text{または}\quad x = -\frac32.$ が得られる。

5. 5

   両方を検算する。 $x=\tfrac72$ では $4(12.25)-8(3.5)+4 = 49-28+4 = 25$ で $\sqrt{25}=5$。$x=-\tfrac32$ では $4(2.25)+12+4 = 9+12+4 = 25$ で $\sqrt{25}=5$。どちらも本物である。

6. 6

   絶対値を落とすと何を失うかを押さえる。 $\sqrt{4(x-1)^2} = 2(x-1)$ と書いてしまうと $x=\tfrac72$ しか出ず、負のほうの解を黙って落とすことになる。