√(x² − 6x + 25) = 5 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   2 乗してよいことを確かめる。 右辺は定数 $5>0$ なので $x$ に追加の条件は生じない。また $x^2-6x+25 = (x-3)^2+16 \ge 16 > 0$ なので根号の中身はつねに定義される。ここでの 2 乗は解を失わせも増やしもしない。

2. 2

   両辺を 2 乗する。 $x^2-6x+25 = 25.$

3. 3

   消して因数分解する。 両辺の $25$ が打ち消し合う。$x^2-6x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-6) = 0.$ ここでは $x$ をくくり出すほうが解の公式より速く、しかも安全である。

4. 4

   2 つの解を読み取る。 $x = 0 \quad\text{または}\quad x = 6.$

5. 5

   それぞれをもとの方程式で検算する。 $x=0$ では $\sqrt{0-0+25} = \sqrt{25} = 5$。$x=6$ では $\sqrt{36-36+25} = \sqrt{25} = 5$。どちらも成り立ち、無縁解はない。

6. 6

   対称性を見る。 平方完成すると $\sqrt{(x-3)^2+16} = 5$、すなわち $(x-3)^2 = 9$ となるので $x-3=\pm3$ である。2 つの解は頂点 $x=3$ について対称であり、だからこそ $0$ と $6$ になる。