0.097x² − 2.3289x + 4.9064133 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   係数を特定し、適切な道具を選ぶ。 ここでは $a=0.097,\qquad b=-2.3289,\qquad c=4.9064133.$ である。整数の範囲では何も因数分解できず、平方完成では最初の一手でいきなり $0.097$ で割ることになるので、解の公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ が最もきれいな道筋である。

2. 2

   判別式を全精度で計算する。 $b^{2}=(-2.3289)^{2}=5.42377521,$ $4ac=4(0.097)(4.9064133)=1.90368836\underline{04},$ $D=b^{2}-4ac=5.42377521-1.9036883604=3.5200868496.$ この段階で $4ac$ をたとえば $1.904$ に丸めると、それだけで解が小数第 3 位で動いてしまう。次の手順で小さな数 $0.194$ で割るため、どの誤差も 10 倍に拡大されるからである。

3. 3

   平方根をとる。 $\sqrt{D}=\sqrt{3.5200868496}=1.876189449\ldots$ $D>0$ なのでこの方程式は異なる 2 つの実数解を持つ。1 次の係数が負で定数項が正、上に開く放物線なのだから、それは当然予想されることである。

4. 4

   $2a$ で割る。 $2a=0.194$ なので、$x=\frac{2.3289\pm 1.876189449}{0.194}.$ プラスをとれば $x=\frac{4.205089449}{0.194}=21.67571881,$ マイナスをとれば $x=\frac{0.452710551}{0.194}=2.33355954.$ である。

5. 5

   代入と、係数についての等式の両方で 2 つの解を確かめる。 $x=21.67571881$ と $x=2.33355954$ を $0.097x^{2}-2.3289x+4.9064133$ に戻すと、小数第 10 位まで $0$ になる。もう 1 つの検算として、解の和は $-b/a=2.3289/0.097=24.0092784$ のはずで、実際 $21.67571881+2.33355954=24.00927835$ である。積は $c/a=4.9064133/0.097=50.5815804$ のはずで、$21.67571881\times 2.33355954=50.58158$ となる。