方程式 x² + ax + a − 2 = 0 が、a のどんな実数値に対しても異なる 2 つの実数解を持つことを証明せよ。

Step-by-step solution

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   実数解の個数を決めるものを思い出す。 $A\neq 0$ である $Ax^2+Bx+C=0$ に対して、判別式

   $\Delta=B^{2}-4AC$

   がすべてを決める。$\Delta>0$ なら異なる 2 つの実数解、$\Delta=0$ なら重解、$\Delta<0$ なら実数解なしである。したがって証明はすべて、どの $a$ についても $\Delta>0$ を示すことに帰着する。

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   係数を特定する。 ここは注意が必要である。文字 $a$ はパラメータであって、最高次の係数ではない：

   $A=1,\qquad B=a,\qquad C=a-2.$

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   判別式を a の関数として計算する。

   $\Delta=a^{2}-4(1)(a-2)=a^{2}-4a+8.$

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   平方完成して符号を露わにする。 $-4$ の半分は $-2$ で、$(-2)^2=4$ である：

   $\Delta=\left(a^{2}-4a+4\right)+4=(a-2)^{2}+4.$

   展開し直すと $a^2-4a+4+4=a^2-4a+8$ となり、書き換えが正しいことが確かめられる。

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   結論を導く。 実数の平方は決して負にならないので $(a-2)^2\ge 0$ であり、したがって

   $\Delta=(a-2)^{2}+4\ge 4>0$

   がどの実数 $a$ についても成り立つ。判別式は真に正——それどころか零から離れて下から抑えられている——ので、この方程式はつねに異なる 2 つの実数解を持つ。

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   最小値がどこにあるかを見る。 判別式が最小になるのは $\Delta=4$ のときで、これは $a=2$ で起こる。そこでは方程式は $x^2+2x+0=0$ となり、解は $x=0$ と $x=-2$ ——約束どおり互いに異なる。