xy 平面上の放物線が頂点 (9, −14) を持ち、x 軸と 2 点で交わる。その方程式を y = ax² + bx + c と書くとき、a + b + c はどのような値をとりうるか。

Step-by-step solution

1. 1

   a + b + c が何を意味するかを見抜く。 $y=ax^2+bx+c$ に $x=1$ を代入すると $a(1)+b(1)+c=a+b+c$ となる。したがって

   $a+b+c=y(1),$

   すなわち $x=1$ における放物線の高さである。$b$ と $c$ を個別に求める必要はまったくない——この恒等式が近道のすべてである。

2. 2

   放物線を頂点の形で書く。 頂点が $(9,-14)$ なので、

   $y=a(x-9)^{2}-14.$

3. 3

   x = 1 で評価する。

   $a+b+c=y(1)=a(1-9)^{2}-14=64a-14.$

4. 4

   x 軸との交点が 2 つあることから a の符号を確定する。 頂点は $y=-14$、すなわち $x$ 軸より下にある。最も低い点が軸より下にある放物線が軸と 2 回交わりうるのは、上に開いているときだけなので、

   $a>0.$

   である。（もし $a<0$ なら頂点は最大値になり、曲線全体が $y=-14$ 以下にとどまって軸に触れることがない。）

5. 5

   a についての制約を、和についての制約に翻訳する。 $a>0$ なので、

   $64a>0\quad\Longrightarrow\quad a+b+c=64a-14>-14.$

   したがって $-14$ より真に大きい数はどれも実現可能であり、$\le -14$ の数はどれも実現できない。

6. 6

   具体的な放物線で確認する。 $a=1$ とすると $y=(x-9)^2-14=x^2-18x+67$ なので $a+b+c=1-18+67=50=64(1)-14$ ✓。頂点は $(9,-14)$ で、解は $9\pm\sqrt{14}$ ——要求どおり $x$ 軸との交点が 2 つある。代わりに $a=\tfrac{1}{64}$ とすると $a+b+c=-13$ となり、$-14$ のすぐ上の値も届くことが分かる。