a を実数の定数とみて、不等式 a×x² + 2x + 1 > 0 を x について解き、すべての場合を答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   判別式を一度だけ計算しておく。 $a \ne 0$ のとき $f(x) = ax^2 + 2x + 1$ について、

   $\Delta = 2^2 - 4a(1) = 4 - 4a = 4(1-a)$

   である。$\Delta$ の符号と $a$ の符号が合わさってすべてを決めるので、場合分けはこの 2 つの量で行う。

2. 2

   まず退化した場合 a = 0 を処理する。 2 次の項が消え、不等式は 1 次になる：

   $2x + 1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad x > -\frac{1}{2}$

   $a$ が零になりうることを忘れるのが、パラメータ問題での定番の見落としである。最高次の係数が零でないとは保証されていない。

3. 3

   場合 a > 1（下に凸で実数解なし）。 ここでは $\Delta = 4(1-a) < 0$ かつ $a > 0$ なので、放物線は上に開き、軸に触れることがない：

   $ax^2 + 2x + 1 > 0 \ \text{ が成り立つのはすべての } x \in \mathbb{R}$

4. 4

   場合 a = 1（完全平方）。 $\Delta = 0$ であり $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ となる。これは唯一の零点を除いてどこでも正である：

   $x \ne -1$

5. 5

   場合 0 < a < 1（下に凸で解が 2 つ）。 いまや $\Delta > 0$ であり、解は

   $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4a}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1-a}}{a}$

   である。下に凸の放物線は解の外側で正になる：

   $x < \frac{-1-\sqrt{1-a}}{a} \quad \text{または} \quad x > \frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}$

6. 6

   場合 a < 0（上に凸）。 このとき $1 - a > 1$ なので $\sqrt{1-a} > 1$ かつ $\Delta > 0$ となり、やはり実数解が 2 つある。上に凸の放物線は解のあいだで正になる。負の数 $a$ で割ると大小の順が入れ替わるので $\tfrac{-1+\sqrt{1-a}}{a} < 0 < \tfrac{-1-\sqrt{1-a}}{a}$ であり、解は

   $\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a} < x < \frac{-1-\sqrt{1-a}}{a}$

   となる。$a = -1$ で確かめると、解は $\tfrac{-1 \pm \sqrt2}{-1}$、すなわち $-0.414214$ と $2.414214$ であり、その中点 $x = 1$ では式の値が $-1 + 2 + 1 = 2 > 0$ となって区間が裏づけられる。