ある人が合計 240 でペンを買った。同じ金額でもう 1 本多く買えていたら、1 本あたりの平均価格は 1 だけ安くなっていた。ペンを何本買ったか。

Step-by-step solution

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   価格を書きやすくなる未知数を選ぶ。 実際に買ったペンの本数を $x$ とする。すると実際の平均価格は

   $\frac{240}{x}$

   である。価格ではなく本数のほうを未知数にとることが、式を 1 変数に保つ鍵である。

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   仮定の場合の価格を表す。 同じ金額でもう 1 本多いなら本数は $x + 1$ となり、価格は

   $\frac{240}{x+1}$

   になる。同じ総額でペンが増えるのだから単価は下がる。したがってこの 2 つ目の式のほうが小さい。

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   比較を方程式にする。 仮定の価格は実際の価格より $1$ だけ安いので、実際の価格から仮定の価格を引くと $1$ になる：

   $\frac{240}{x} - \frac{240}{x+1} = 1$

   この引き算の向きを正しくとることが大切である。逆にすると $-1$ になり、正の解が出なくなる。

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   分数をまとめて分母を払う。

   $240\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) = 240 \cdot \frac{(x+1) - x}{x(x+1)} = \frac{240}{x(x+1)} = 1$

   したがって

   $x(x+1) = 240 \ \Longrightarrow \ x^2 + x - 240 = 0$

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   因数分解して 2 次方程式を解く。 掛けて $-240$、足して $1$ になる 2 数は $16$ と $-15$ である：

   $x^2 + 16x - 15x - 240 = x(x+16) - 15(x+16) = (x+16)(x-15) = 0$

   $x = -16 \quad \text{または} \quad x = 15$

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   あり得ない解を捨てて確かめる。 ペンの本数が負になることはないので $x = -16$ は捨て、$x = 15$ となる。問題文と照合すると、$240/15 = 16$ が 1 本あたりの値段で、1 本多ければ $240/16 = 15$ ——ちょうど $1$ だけ安い。よって買ったのは 15 本である。