(x − 4)(x² − 5x − 6) を展開せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分配の形に整える。 FOIL が使えるのは 2 項式どうしの積だけである。相手が 3 項式のときは、$(x-4)$ の各項を 3 つの項すべてに分配することになり、集めるべき積は $2 \times 3 = 6$ 個になる。

2. 2

   $x$ を分配する。

   $x(x^2 - 5x - 6) = x^3 - 5x^2 - 6x$

3. 3

   $-4$ を分配する。 ここでは符号の反転が 2 回起きるので、ゆっくり進める：$-4 \times -5x = +20x$、$-4 \times -6 = +24$。

   $-4(x^2 - 5x - 6) = -4x^2 + 20x + 24$

4. 4

   2 行を足して同類項をまとめる。

   $x^3 + (-5x^2 - 4x^2) + (-6x + 20x) + 24 = x^3 - 9x^2 + 14x + 24$

5. 5

   最高次の項と定数項で妥当性を確かめる。 最高次の項は $x \cdot x^2 = x^3$ でなければならず ✓、定数項は $(-4)(-6) = +24$ でなければならない ✓——定数が負ならその場で符号の誤りである。$x^3 - x^2 + 26x + 24$ や $x^3 - 5x^2 + 10x + 24$ といったひっかけは、両端は合っているが真ん中が違う。

6. 6

   値を代入して検証する。 $x = 2$ のとき、もとの式は $(2-4)(4-10-6) = (-2)(-12) = 24$、展開式は $8 - 36 + 28 + 24 = 24$ ✓。