二重根号 √(11 − √120) を、2 つの平方根の差の形に簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   内側の根号を $2\sqrt{k}$ の形にする。 二重根号を外す公式は内側の根の前に $2$ があることを前提にしているので、$120$ から完全平方を取り出す：

   $\sqrt{120}=\sqrt{4\cdot 30}=2\sqrt{30}\;\Longrightarrow\;11-\sqrt{120}=11-2\sqrt{30}$

2. 2

   完全平方の型を用意する。 $11-2\sqrt{30}=\left(\sqrt m-\sqrt n\right)^2$ だとすると、右辺を展開して

   $\left(\sqrt m-\sqrt n\right)^2=m+n-2\sqrt{mn}$

   となるので、有理部分と無理部分を別々に合わせるには

   $m+n=11,\qquad mn=30$

   でなければならない。

3. 3

   小さな連立を解く。 これは 2 数の和と積なので、$m$ と $n$ は $t^2-11t+30=0$ の解である：

   $t=\frac{11\pm\sqrt{121-120}}{2}=\frac{11\pm 1}{2}\;\Longrightarrow\;t=6\ \text{または}\ 5$

   判別式が完全平方（$1$）になることこそ、そもそも二重根号が外れるための条件である——たいていの二重根号は外れない。

4. 4

   符号に気をつけて平方根をとる。 平方根は非負なので、差が正になる並べ方、すなわち $m=6$、$n=5$ を選ぶ：

   $\sqrt{11-\sqrt{120}}=\sqrt{\left(\sqrt6-\sqrt5\right)^2}=\left|\sqrt6-\sqrt5\right|=\sqrt6-\sqrt5$

5. 5

   数値で確かめ、有理化した逆数にも触れておく。 数値では $\sqrt{120}=10.9545$ なので $11-\sqrt{120}=0.0455488$、その平方根は $0.213422$ である。一方 $\sqrt6-\sqrt5=2.449490-2.236068=0.213422$ $\checkmark$ ——両者はぴったり一致し、言い訳をすべきずれはない。ついでに役立つ事実として、逆数はきれいに有理化される：

   $\frac{1}{\sqrt6-\sqrt5}=\frac{\sqrt6+\sqrt5}{6-5}=\sqrt6+\sqrt5$

   つまりこの根号とその逆数を足すと $2\sqrt6$ になる。