縦書きの筆算で 4x³ + x² + 2x + 6 と x + 5 の積を求め、簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   「縦書きの筆算」の利点を理解する。 数の掛け算の筆算と同じように並べると、2 項式の各項から 1 つずつ、計 2 つの部分積ができ、同じ次数を同じ列に揃えたまま足し合わせることになる。この列揃えこそが、$x^{3}$ の項と $x^{2}$ の項をうっかりまとめてしまう定番の誤りを防ぐ。

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   $x$ を分配して第 1 の部分積を作る。 3 次式の各項に $x$ を掛けると、どの指数も 1 ずつ上がる：

   $x\left(4x^{3}+x^{2}+2x+6\right)=4x^{4}+x^{3}+2x^{2}+6x$

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   $5$ を分配して第 2 の部分積を作る。 ここでは係数だけが変わる：

   $5\left(4x^{3}+x^{2}+2x+6\right)=20x^{3}+5x^{2}+10x+30$

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   2 行を列ごとに足す。 $x$ の次数でまとめると：

   $4x^{4}+\left(x^{3}+20x^{3}\right)+\left(2x^{2}+5x^{2}\right)+\left(6x+10x\right)+30$

   $4x^{4}$ に相手がいないこと（4 次の項を出したのは $x$ の行だけ）と、$30$ にも相手がいないこと（定数を出したのは $5$ の行だけ）に注意する。

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   まとめて結果を述べる。

   $4x^{4}+21x^{3}+7x^{2}+16x+30$

   次数の簡単な確認：$3$ 次の因子と $1$ 次の因子の積は必ず $4$ 次になり、最高次の係数は $4\cdot 1=4$ でなければならない。どちらも成り立っている。

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   値を代入して検証する。 $x=0$ では因数の形も展開した形も $6\cdot 5=30$ を与える。$x=1$ ではどちらも $13\cdot 6=78$、$x=2.5$ ではどちらも $598.125$、$x=-1.3$ ではどちらも $-13.6826$ となる。4 点での一致は強い証拠であり、あと 1 点あれば $4$ 次の多項式は完全に決定される。