Z1 = 4i/(1 − i の 555 乗)、Z2 = (7 × i の 88 乗 + 24 × i の 33 乗)/(5i) とする。Z1 の共役に Z2 の 2 乗を掛け、Z1 で割ったものの絶対値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   数に手を付ける前に、絶対値の性質で目標を簡単にする。 絶対値は乗法的なので、$\left|\frac{\overline{Z_1}\,(Z_2)^2}{Z_1}\right| = \frac{|\overline{Z_1}|\,|Z_2|^2}{|Z_1|}.$ となる。共役は絶対値が変わらないので $|\overline{Z_1}| = |Z_1|$ であり、$Z_1$ の因子は約分される。つまり答えは $|Z_2|^2$ そのものである。$Z_1$ は結局無関係であり、これは問題側が仕掛けた罠である。

2. 2

   周期 4 を使って i のべきを簡約する。 $i^1=i$、$i^2=-1$、$i^3=-i$、$i^4=1$ なので、指数を $4$ で割った余りだけが効く。$88 \equiv 0 \pmod 4$ より $i^{88}=1$、$33 \equiv 1 \pmod 4$ より $i^{33}=i$ である。

3. 3

   Z2 に代入する。 $Z_2 = \frac{7(1)+24(i)}{5i} = \frac{7+24i}{5i}.$

4. 4

   分母から虚数単位を追い出す。 $i\cdot(-i) = -i^2 = 1$ を使い、分母分子に $-i$ を掛ける：$Z_2 = \frac{(7+24i)(-i)}{5} = \frac{-7i-24i^2}{5} = \frac{24-7i}{5} = \frac{24}{5}-\frac{7}{5}i.$

5. 5

   絶対値の 2 乗を計算する。 $a=\tfrac{24}{5}$、$b=-\tfrac{7}{5}$ として：$|Z_2|^2 = a^2+b^2 = \frac{576}{25}+\frac{49}{25} = \frac{625}{25} = 25.$ 答えがきれいな整数になるのは、$7$-$24$-$25$ というピタゴラス数のおかげである。

6. 6

   数値で交差検証する。 $555 \equiv 3 \pmod 4$ なので $i^{555} = -i$、したがって $Z_1 = \tfrac{4i}{1+i} = 2+2i$ である。$\left|\tfrac{(2-2i)(24/5-7i/5)^2}{2+2i}\right|$ を直接計算すると $25.000$ となり、近道と計算の両方が確かめられる。