Z の共役に 4i/Z を加えたものの絶対値が 2√2 に等しいとする。Z の絶対値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   偏角をくくり出せるように極形式を選ぶ。 $r=|Z|>0$ として $Z = re^{i\theta}$ と書く。すると $\overline{Z} = re^{-i\theta}$、$Z^{-1} = \tfrac1r e^{-i\theta}$ となる。決定的なのは、どちらの項も同じ因数 $e^{-i\theta}$ を持つことである。

2. 2

   共通の指数関数をくくり出す。 $\overline{Z}+4iZ^{-1} = e^{-i\theta}\left(r+\frac{4i}{r}\right).$ $|e^{-i\theta}|=1$ なので、絶対値は $\theta$ にまったく依存しない： $\left|\overline{Z}+4iZ^{-1}\right| = \left|r+\frac{4i}{r}\right|.$

3. 3

   絶対値を r で表す。 かっこの中の実部は $r$、虚部は $\tfrac4r$ でどちらも実数なので、 $\left|r+\frac{4i}{r}\right| = \sqrt{r^2+\frac{16}{r^2}} = 2\sqrt2.$

4. 4

   2 乗して分母を払う。 2 乗すると $r^2+\dfrac{16}{r^2} = 8$ となり、0 でない $r^2$ を掛けると 4 次方程式 $r^4-8r^2+16 = 0.$ が得られる。

5. 5

   完全平方であることを見抜く。 $r^4-8r^2+16 = (r^2-4)^2$ なので、$(r^2-4)^2=0$ から $r^2=4$ が確定する。解は 2 つではなく重解が 1 つだけであり、$2\sqrt2$ が左辺のとりうる最小値にちょうど等しいことを示唆している。

6. 6

   正の根を取り、確認する。 絶対値は 0 以上なので $r=|Z|=2$ である。確かめると $\sqrt{2^2+\tfrac{16}{4}} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt2$ となる。相加相乗平均の関係より $r^2+\tfrac{16}{r^2} \ge 8$ であり、等号が成り立つのは $r=2$ のときだけである。答えが一意なのはそのためである。