a = (−1 + √71)/2 のとき、6/a = a/x を x について解け。答えは根号のままにせよ。

Step-by-step solution

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   無理数に名前を付け、代入は後回しにする。 $a=\dfrac{-1+\sqrt{71}}{2}$ を 1 つの記号のまま扱えば、式変形は一度きれいに済み、2 乗するのも最後の 1 つの式だけで足りる。これが、面倒な計算を 3 回するか 1 回で済ませるかの分かれ目である。

2. 2

   比例式をたすき掛けする。 $\dfrac{6}{a}=\dfrac{a}{x}$（$a,x\neq 0$）より：

   $6x=a^2\ \Longrightarrow\ x=\frac{a^2}{6}$

   これが「比例中項」の関係である。$a$ は $6$ と $x$ の相乗平均になっている。

3. 3

   $(p+q)^2=p^2+2pq+q^2$ で無理数を 2 乗する。 分子と分母をそれぞれ 2 乗すると：

   $a^2=\frac{\left(-1+\sqrt{71}\right)^2}{4}=\frac{1-2\sqrt{71}+71}{4}=\frac{72-2\sqrt{71}}{4}$

   $\left(\sqrt{71}\right)^2=71$ がちょうど成り立つので根号が 1 つ消える。一方、交差項の $-2\sqrt{71}$ は残る。

4. 4

   もう一度割る前に約分する。 分子から 2 をくくり出すと：

   $a^2=\frac{2\left(36-\sqrt{71}\right)}{4}=\frac{36-\sqrt{71}}{2}$

5. 5

   6 で割って仕上げる。

   $x=\frac{a^2}{6}=\frac{36-\sqrt{71}}{2\cdot 6}=\frac{36-\sqrt{71}}{12}$

   このままの形で残す。$\sqrt{71}\approx 8.426$ に置き換えると $x\approx 2.298$ となり、問題が求めた厳密さを捨てることになる。

6. 6

   数値で確かめる。 $\sqrt{71}=8.42615$ とすると $a=3.71307$、$x=2.29782$ である。このとき $6/a=1.61591$、$a/x=1.61591$ ——両辺は一致し、根号のままの答えが正しいことが確かめられる。