式 y = p×√x + q/√x は非線形である。これを線形の形に変形せよ。

Step-by-step solution

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   「線形の形」が何を要求しているのかをはっきりさせる。 目標は $Y=mX+c$ という形の式であり、そこで $Y$ と $X$ は $x$ と $y$ から組み立てた式、未知定数 $p$ と $q$ は傾きと切片としてのみ現れる。そうすれば実験データから $X$ に対して $Y$ をプロットするだけで、直線から $p$ と $q$ が読み取れる。

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   その形を妨げているものを特定する。 書かれたままでは右辺に $\sqrt{x}$ と $x^{-1/2}$ の両方が含まれている。異なる 2 つのべきの和は $X$ をどう選んでも線形にならないので、変数を置き換える前に式そのものを作り替えねばならない。

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   両辺に $\sqrt{x}$ を掛ける。 $\sqrt{x}$ が定義され、かつ零でないためには $x>0$ が必要であり、その下でこれは正当な操作である：

   $y\sqrt{x}=p\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}+\frac{q}{\sqrt{x}}\cdot\sqrt{x}=px+q$

   扱いにくい 2 つの 1/2 乗はつぶれる。一方は $x$ になり、もう一方は定数になる。

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   新しい変数に名前を付け、定数を読み取る。 ここで

   $Y=y\sqrt{x},\qquad X=x$

   と置けば、関係は $Y=pX+q$ となる。傾きが $p$、縦軸切片が $q$ の直線である。

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   具体的な数値で確認する。 $p=2$、$q=3$、$x=4$ とする。もとの式からは $y=2(2)+\tfrac{3}{2}=5.5$ なので $Y=y\sqrt{x}=5.5\times 2=11$ である。線形の形が与えるのは $pX+q=2(4)+3=11$ ——完全に一致しており、この変換が見た目を整えただけでなく関係そのものを保っていることが確かめられる。