関係式 y(b − x) = ax は非線形である。線形の形 Y = mX + c に変形し、Y, X, 傾き m, 切片 c を答えよ。

Step-by-step solution

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   非線形性の種類を診断する。 ここには指数はどこにもない。厄介なのは $y(b-x)=by-xy$ に潜む積 $xy$ である。対数を取ってもかえって悪くなるだけである。変数どうしが掛け合わされているときの処方は、たいてい逆数である。

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   積 $xy$ で割る。 $y(b-x)=ax$ から出発し、両辺を $xy$ で割る（$x\neq 0$、$y\neq 0$ のとき有効）：

   $\frac{b-x}{x}=\frac{a}{y}$

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   左辺の分数を分ける。

   $\frac{b}{x}-1=\frac{a}{y}$

   これで両方の変数が $1/x$ と $1/y$ の形でしか現れなくなった——変換がうまく働いている合図である。

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   $1/y$ について解く。 全体を $a$ で割ると：

   $\frac{1}{y}=\frac{b}{a}\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{a}$

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   $Y=mX+c$ と照合する。

   $\underbrace{\frac{1}{y}}_{Y}=\underbrace{\frac{b}{a}}_{m}\underbrace{\frac{1}{x}}_{X}+\underbrace{\left(-\frac{1}{a}\right)}_{c}$

   よって $1/x$ に対して $1/y$ をプロットする。切片から $a=-1/c$ が得られ、続いて $b=ma$ が求まる。

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   数値で確かめる。 $a=2,b=5,x=1$ とすると、もとの式からは $y(5-1)=2$ なので $y=0.5$、したがって $1/y=2$ である。線形の形が与えるのは $\tfrac{5}{2}(1)-\tfrac12=2$ ✓。切片が負であることに注意する。それこそが $a>0$ を教えてくれる。