関係式 y p^x = q は非線形である。線形の形 Y = mX + c に変形し、Y, X, 傾き m, 切片 c を答えよ。

Step-by-step solution

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   式がどの変換を求めているかを見定める。 未知数 $x$ は指数の位置にあるので、$x$ と $y$ のまま変形をいくら重ねてもグラフはまっすぐにならない。指数から変数を引き下ろす道具が対数であり、それが戦略のすべてである。

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   まず $y$ を孤立させる。 $p^{x}$ で割ると：

   $y=\frac{q}{p^{x}}=q\,p^{-x}$

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   両辺の対数を取る。 一貫して同じ底を使う限り、どの底でもかまわない：

   $\log y=\log\!\left(q\,p^{-x}\right)$

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   積を分け、指数を下ろす。 $\log(AB)=\log A+\log B$ と $\log(p^{-x})=-x\log p$ を使うと：

   $\log y=\log q-x\log p$

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   $Y=mX+c$ と照合する。 $x$ の項を先に書き直すと：

   $\underbrace{\log y}_{Y}=\underbrace{(-\log p)}_{m}\underbrace{x}_{X}+\underbrace{\log q}_{c}$

   つまり $x$ そのものに対して $\log y$ をプロットする。$\log x$ に対してではない——ここが定番の取り違えである。

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   グラフの読み方を確かめる。 傾きは $-\log p$ なので、常用対数なら $p=10^{-m}$ である。切片は $\log q$ なので $q=10^{c}$ となる。$p=2,q=5,x=3$ で数値検算すると：$y=5/8=0.625$ であり $\log_{10}0.625=-0.2041$、一方 $-3\log_{10}2+\log_{10}5=-0.9031+0.6990=-0.2041$ ✓。