関係式 y = a x^b は非線形である。線形の形 Y = mX + c に変形し、Y, X, 傾き m, 切片 c を答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   未知定数がどこにあるかを見きわめる。 ここで $b$ は定数の肩ではなく、変数 $x$ の肩に乗った指数である。この違いが変換を決める。べき乗則は両辺に、しかも両方の変数に対数が必要であるのに対し、指数則 $y=ab^{x}$ では $y$ にだけ対数を取ればよい。

2. 2

   両辺の対数を取る。

   $\log y=\log\!\left(a\,x^{b}\right)$

3. 3

   積を分ける。 $\log(MN)=\log M+\log N$ より：

   $\log y=\log a+\log\!\left(x^{b}\right)$

4. 4

   指数を下ろす。 $\log(x^{b})=b\log x$ より：

   $\log y=b\log x+\log a$

5. 5

   $Y=mX+c$ と照合する。

   $\underbrace{\log y}_{Y}=\underbrace{b}_{m}\underbrace{\log x}_{X}+\underbrace{\log a}_{c}$

   $\log x$ に対して $\log y$ をプロットする——すなわち両対数グラフ——と直線が得られ、その傾きがそのまま指数 $b$、切片が $\log a$ となる。

6. 6

   数値で確かめる。 $a=3,b=2,x=4$ とすると $y=3\cdot 16=48$ である。このとき $\log_{10}48=1.6812$ であり、$b\log_{10}4+\log_{10}3=2(0.6021)+0.4771=1.6812$ ✓。定数を復元するには $b=m$、$a=10^{c}$ とすればよい。