不等式 3x + 1 − 300 < 4.2x − 1.8 + 4x − 80 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   何かを移す前に、各辺を別々に整理する。 左辺：$3x+1-300 = 3x-299$。右辺：$x$ の項は $4.2x+4x = 8.2x$、定数は $-1.8-80 = -81.8$ となるので、右辺は $8.2x-81.8$ である。不等式はいま $3x-299 < 8.2x-81.8.$ となっている。

2. 2

   係数が正のままになる側へ x の項を移す。 両辺から $3x$ を引くと、右辺に $8.2x-3x = 5.2x$ が残る： $-299 < 5.2x-81.8.$ この向きを選べば、あとで負の数で割って不等号の向きを反転させることを避けられる。

3. 3

   x の項を単独にする。 両辺に $81.8$ を足す： $-299+81.8 = -217.2 < 5.2x.$

4. 4

   5.2 で割り、向きはそのままにする。 $5.2>0$ なので不等号の向きは変わらない： $x > \frac{-217.2}{5.2}.$

5. 5

   境界を厳密に求める。 分子と分母に $10$ を掛けると $\dfrac{-2172}{52} = -\dfrac{543}{13} = -41.\overline{769230}$ となるので、 $x > -\frac{543}{13} \approx -41.77.$ である。もとの不等号が狭義なので、端点は除かれる。

6. 6

   境界の両側で値を試す。 $x=0$ では左辺 $=-299$、右辺 $=-81.8$ であり、$-299<-81.8$ は真なので $0$ は解集合に入る。$x=-50$ では左辺 $=-449$、右辺 $=-491.8$ であり、$-449<-491.8$ は偽である。$-50 < -41.77$ が集合の外にあることと整合している。