(2/5)x + 1014 + 4/5 = (5/9)x + 1019 + 4/9 を x について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   各辺の定数をまとめる。 どちらの辺も整数と真分数の和なので、帯分数にまとまる：

   $1014+\frac45=1014\tfrac45=\frac{5074}{5},\qquad 1019+\frac49=1019\tfrac49=\frac{9175}{9}.$

   ここで一気に仮分数に直しておけば、残りは帯分数の管理がいらない純粋な分数の計算になる。

2. 2

   $x$ の項を一方の辺に、定数をもう一方の辺に集める。 両辺から $\tfrac25x$ と $\tfrac{9175}{9}$ を引くと：

   $\frac{5074}{5}-\frac{9175}{9}=\left(\frac59-\frac25\right)x.$

   小さいほうの係数 $\tfrac25$ を移せば $x$ の係数が正のままになり、あとで符号を反転させずに済む。

3. 3

   $x$ の係数を計算する。 共通分母 $45$ の上で：

   $\frac59-\frac25=\frac{25}{45}-\frac{18}{45}=\frac{7}{45}.$

   分母 $5$ と $9$ は互いに素なので、$45$ がこの問題全体を通じての最小公倍数である。左辺にも同じ $45$ が現れる。

4. 4

   定数の差を計算する。 ここでも $45$ の上で：

   $\frac{5074}{5}-\frac{9175}{9}=\frac{5074\cdot9-9175\cdot5}{45}=\frac{45666-45875}{45}=\frac{-209}{45}.$

   $45666$ と $45875$ はどちらも確かめておく価値がある：$5074\times9=45666$、$9175\times5=45875$ である。

5. 5

   厳密に解いて検算する。 方程式はいま $\frac{-209}{45}=\frac{7}{45}x$ であり、両辺に $45$ を掛けると分母が消える：

   $-209=7x\;\Longrightarrow\;x=-\frac{209}{7}\approx-29.857.$

   $209=11\times19$ なので、これ以上約分できない。厳密な分数のまま代入し直すと、両辺とも $\frac{7020}{7}$ になる ✓。