1 対 1 の関数 t(x) = 3√(x + 6) の逆関数を求め、その定義域を述べよ。

Step-by-step solution

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   もとの関数の定義域と値域を書き留める。 根号の中は 0 以上でなければならないので $x+6\ge0$ から定義域は $x\ge-6$ であり、$\sqrt{\ }$ は 0 以上の値を返すので値域は $t(x)\ge0$ である。この 2 つはそれぞれ逆関数の値域と定義域になる。先に書き留めておく価値があるのはそのためである。

2. 2

   $y=t(x)$ と置いて文字を入れ替える。 $y=3\sqrt{x+6}$ と書き、$x$ と $y$ を入れ替えると：

   $x=3\sqrt{y+6}.$

   入れ替えることが「入力と出力を逆にする」という意味を担っている。その後に $y$ について解けば、逆関数の対応規則が得られる。

3. 3

   2 乗する前に根号を単独にする。 まず $3$ で割る：

   $\frac{x}{3}=\sqrt{y+6}.$

   $3$ を外に置いたまま 2 乗すると $x^{2}=9(y+6)$ となる。ここでは答えは同じだが、係数が掛け算ではなく足し算で付いている場合には、先に根号を単独にする習慣が誤りを防ぐ。

4. 4

   2 乗して $y$ について解く。 両辺を 2 乗すると：

   $\frac{x^{2}}{9}=y+6\;\Longrightarrow\;y=\frac{x^{2}}{9}-6.$

   よって逆関数の対応規則は $t^{-1}(x)=\dfrac{x^{2}}{9}-6$ である。

5. 5

   定義域の条件を添える。これも答えの一部である。 放物線 $\frac{x^{2}}{9}-6$ は $\mathbb{R}$ 全体では 1 対 1 ではない。$t$ の値域に対応する枝だけが意味を持つ：

   $t^{-1}(x)=\frac{x^{2}}{9}-6,\qquad x\ge0.$

   合成を両方向で確かめる：$t\!\left(t^{-1}(4.2)\right)=4.2$ ✓、$t^{-1}\!\left(t(3.3)\right)=3.3$ ✓。この条件がないと $t^{-1}(-3)=-5$ から $t(-5)=-3$ だと誤って主張することになるが、実際には $t(-5)=3$ である。