3|x| + 4|y| ≤ 12 の表す領域を説明し、図示せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず 2 重の対称性を利用する。 $x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えても $3|x|+4|y|$ は変わらないので、この領域は両方の軸について対称である。したがって第 1 象限だけを理解して 2 回折り返せば十分である。

2. 2

   $x$ 切片を求める。 $y=0$ とすると：

   $3|x|\le 12\;\Longrightarrow\;|x|\le 4\;\Longrightarrow\;-4\le x\le 4$

   なので、境界は $x$ 軸と $(\pm 4,0)$ で交わる。

3. 3

   $y$ 切片を求める。 $x=0$ とすると：

   $4|y|\le 12\;\Longrightarrow\;|y|\le 3\;\Longrightarrow\;-3\le y\le 3$

   となり、$(0,\pm 3)$ が得られる。

4. 4

   境界が 4 本の線分であることを見抜く。 第 1 象限では等式 $3x+4y=12$ は直線であり、対称性がそれを残り 3 つの象限に写し取る。$(4,0)$、$(0,3)$、$(-4,0)$、$(0,-3)$ を結ぶ 4 本のまっすぐな辺が、原点を中心とするひし形をなす。なめらかな楕円ではなく直線の辺になるのは、絶対値のはたらきである。

5. 5

   どちら側を塗るかを決める。 原点で試すと $3|0|+4|0|=0\le 12$ $\checkmark$ なので原点は含まれ、領域はひし形の内側である。不等号に等号が付いているので、4 本の辺は実線でかき、解に含まれる。

6. 6

   境界上の点と外側の点で確かめる。 $(2,\tfrac32)$ では $6+6=12\le 12$ $\checkmark$ で辺の上にある。$(4,1)$ では $12+4=16\not\le 12$ $\checkmark$ となり、正しく外側である。